[2016년 운정고]

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[1학년 1학기 중간]

다항식 [eqn: (2x+3)^2 (3x^2 -x+1)^2]의 전개식에서 [eqn: x^4]의 계수는?

④

① [eqn: 34]	② [eqn: 35]	③ [eqn: 36]

④ [eqn: 37]	⑤ [eqn: 38]

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a^2 +b^2 =3(a-b)], [eqn: ab=-2]이 성립할 때,
[eqn: a^3 -b^3]의 값은?

③

① [eqn: 30]	② [eqn: 35]	③ [eqn: 40]

④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 50]

다항식 [eqn: x^4 +3x^2 +4]이 [eqn: (x^2 +ax+b)(x^2 -cx+d)]로 인수분해 될 때, 다항식 [eqn: ax^3 +bx^2 +cx+d]의 인수인 것은? (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]는 자연수이다.)

④

① [eqn: x-1]	② [eqn: x-2]	③ [eqn: x+1]

④ [eqn: x^2 +1]	⑤ [eqn: x^2 +2]

그림과 같이 서로소인 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b][eqn: (a<b)]에 대하여 직육면체 [eqn: 8]개를 이어 붙여 한 모서리의 길이가 [eqn: a+b]인 정육면체를 만들었다.

부피가 [eqn: 48]인 직육면체가 [eqn: 3]개일 때, [eqn: a+2b]의 값은?

①

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: 2x-3]으로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 20]이고 다항식 [eqn: x^2 f(x)]를 [eqn: 2x-3]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)]라고 할 때, 다항식 [eqn: Q(x)]를 [eqn: x]로 나누었을 때의 나머지는?

⑤

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

등식
[eqn: (x+1) ^{8} +(x ^{2} +x+2) ^{2} +1=a _{0} +a _{1} x+a _{2} x+ CDOTS +a _{8} x ^{8}]
이 [eqn: x]의 값에 관계없이 항상 성립할 때, [eqn: a_0 -a_2 +a_4 -a_6 +a_8]의 값은?

④

[eqn: x=i] 대입한 후 실수부분

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

실수가 아닌 복소수 [eqn: z]에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: barz]는 [eqn: z]의 켤레복소수이고, [eqn: i `=`root-1]이다. )

⑤

ㄱ. [eqn: z+w], [eqn: zw]가 모두 실수이면 [eqn: w`=`barz]이다.

ㄴ. [eqn: z+ 1overz]이 실수이면 [eqn: z barz `=`1]이다.

ㄷ. 임의의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: z^n +(barz )^n]은 실수이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: 0]이 아닌 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: rootb over roota = -root {b over a}]가 성립할 때,
[eqn: root-a +root-b]의 켤레복소수는?

②

① [eqn: root-a +root-b]	② [eqn: root-a - root-b]

③ [eqn: -root-a +root-b]	④ [eqn: -root-a - root-b]

⑤ [eqn: root-a +rootb]

이차방정식 [eqn: x^2 -5x+k`=`0]의 두 근 [eqn: alpha], [eqn: beta] 중 [eqn: alpha]가 [eqn: x^2 -3x+2`=`0]의 두 근 사이에 존재할 때, [eqn: alpha]의 값은? (단, [eqn: k]는 정수)

③

① [eqn: {5-root2 }over2]	② [eqn: {5-root3 }over2]	③ [eqn: {5-root5 }over2]

④ [eqn: {5-root6 }over2]	⑤ [eqn: {5-root7 }over2]

이차함수 [eqn: y`=`x^2 +2kx+k^2 +6k]의 그래프에서 [eqn: k]의 값에 관계없이 항상 접하는 직선의 방정식을 [eqn: y`=`-2ax+b]라고 할 때, [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: ab]의 값은? (단, [eqn: a!=0])

②

① [eqn: -36]	② [eqn: -27]	③ [eqn: -18]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 18]

[eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: |x^2 -6x|-2x+k=0]이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 모든 실수 [eqn: k]의 값의 합은?

①

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

그림과 같이 [eqn: rmbarAB = barAC]인 이등변삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. [eqn: rmbarAB =20], [eqn: rmbarBC =24]일 때, 이 삼각형 [eqn: rmABC]에 내접하는 직사각형 [eqn: rmPQRS]의 넓이의 최댓값은?

④

① [eqn: 78]	② [eqn: 84]	③ [eqn: 90]

④ [eqn: 96]	⑤ [eqn: 102]

함수 [eqn: f(x)`=`x ^{2} -2mx-2n]이 다음 조건을 만족시킨다.

서로 다른 두 자연수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 [eqn: mn]의 최댓값과 최솟값의 합은?

(가) 좌표평면에서 [eqn: y`=`f(x)]의 그래프가 [eqn: x]축과

만나는 점의 [eqn: x]좌표는 정수이다.

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)ge -30]

③

두 근을 [eqn: p], [eqn: q]라 하면

1) [eqn: (q-p)^2 le 120] [eqn: rarrow] [eqn: q-p le 10]

2) [eqn: p+q=2m]

3) [eqn: pq=-2n]

2), 3)에서 [eqn: p]와 [eqn: q]는 [eqn: p+q >0], [eqn: pq<0]이며 모두 짝수이다.

[eqn: mn]이 최소인 [eqn: (p,```q)=(-2,```4)], 최대인 [eqn: (p,```q)=(-2,```8)]

① [eqn: 24]	② [eqn: 26]	③ [eqn: 28]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 32]

삼차방정식 [eqn: x^3 -4x^2 +ax+b`=`0]의 한 근이 [eqn: 1-i]이다.
두 실수 [eqn: a], [eqn: b]를 근으로 하고 이차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식이
[eqn: x^2 +mx+n`=`0]일 때, [eqn: mn]의 값은? (단, [eqn: m], [eqn: n]은 상수이고
[eqn: i`=`root-1]이다.)

①

① [eqn: 48]	② [eqn: 56]	③ [eqn: 60]

④ [eqn: 70]	⑤ [eqn: 110]

그림과 같이 밑면의 반지름의 길이와 높이가 모두 [eqn: a]인 원기둥 모양의 그릇 [eqn: A]에 물이 가득 담겨 있다. 밑면의 반지름의 길이가 각각 [eqn: b], [eqn: c]이고 높이도 [eqn: b], [eqn: c]인 두 원기둥 모양의 블록 [eqn: B], [eqn: C]를 그릇 [eqn: A]에 넣었더니 물이 넘쳐 그릇 [eqn: A]에 남아있는 물의 양이 [eqn: 11pi]였고, 두 블록 [eqn: B], [eqn: C]의 옆면은 서로 외접하고 그릇 [eqn: A]에 내접하고 있다. 두 블록 [eqn: B], [eqn: C]의 밑면의 넓이의 합은 그릇 [eqn: A]의 밑면 넓이의 [eqn: 3over5]라고 할 때, 그릇 [eqn: A]의 부피를 구하면 [eqn: p overq pi]이다. [eqn: p+q]의 값은? (단 [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수, [eqn: a>b>c]이고 그릇의 두께는 무시한다.)

③

① [eqn: 38]	② [eqn: 46]	③ [eqn: 58]

④ [eqn: 67]	⑤ [eqn: 82]

서술형

다항식 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: Q(x)]와 [eqn: f(0)]의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오.

[eqn: Q(x)=2x-6], [eqn: f(0)=-2]

(가) [eqn: f(x)]를 [eqn: (x+1)^2]으로 나눈 몫은 [eqn: Q(x)]이고,

나머지는 [eqn: 10x+4]이다.

(나) [eqn: f(x)]를 [eqn: x+1]로 니눈 몫이 [eqn: 2x^2 -4x+4]이다.

이차방정식 [eqn: x ^{2} -3x+1=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라고 할 때, 두 수
[eqn: {2beta ^{2} -3beta+1} over {alpha}], [eqn: {alpha ^{2}} over {beta ^{2} -2beta+1}]을 두 근으로 하고, [eqn: x ^{2}]의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식을 구하고 그 과정을 서술하시오.

[eqn: x ^{2} -18x+1=0]

그림과 같이 이차함수 [eqn: y`=`-x^2 +2x+8]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라고 하자.

점 [eqn: {rmP}(a,```b)]가 이차함수 [eqn: y`=` -x^2 +2x+8]의 그래프를 따라 점 [eqn: rmA]에서 점 [eqn: rmB]까지 움직일 때, [eqn: 4a-b]의 최댓값과 최솟값을 각각 구하고 그 과정을 서술하시오.

최소 [eqn: -9], 최대 [eqn: 16]

갑과 을은 물탱크 [eqn: A]에 물을 채우고, 병은 물탱크 [eqn: A]에 채워진 물을 물탱크 [eqn: B]로 옮겨 채우는 작업을 하려고 한다. 물탱크 [eqn: A]가 가득차면 작업을 멈춘다고 할 때, 물탱크 [eqn: A]에 물이 가득 채워지는 데 걸리는 시간은 다음과 같다.

을과 병은 작업을 하지 않고 갑만 작업을 하여 물탱크 [eqn: A]에 물을 가득 채울 때, 걸리는 시간을 구하고, 그 과정을 서술하시오. (단, 갑, 을, 병 세 사람의 시간당 한 일의 양은 각각 일정하다.)

(가) 갑과 을 두 사람만 작업을 한 경우, 걸리는

총 시간은 [eqn: 5]시간이다.

(나) 갑과 을이 작업을 시작한지 [eqn: 4]시간 후에 을이

작업을 멈추는 동시에 병이 작업을 시작한

경우, 걸리는 총 시간은 [eqn: 12]시간이다.

(다) 갑, 을, 병 세 사람이 동시에 작업을 한 경우,

걸리는 총 시간은 [eqn: 10]시간이다.

[eqn: 8]

[2016년 운정고]

[1학년 1학기 중간]

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